[알고리즘] 에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체란?

소수를 찾는 방법으로, 고대 그리스 수학자 에라토스테네스가 발견했다. 이 알고리즘을 사용하지 않고 단순히 소수를 구하려고 할 때 시간이 오래 걸리므로 소수를 구하고자 할 때 에라토스테네스의 체 알고리즘을 사용하는 것이 훨씬 효율적이다.

 

소수가 구해지는 과정

Alogrithm

1. 2부터 소수를 구하고자 하는 구간의 모든 수를 나열한다. 그림에서 회색 사각형으로 두른 수들이 여기에 해당한다.
2. 2는 소수이므로 오른쪽에 2를 쓴다. (빨간색으로 표시)
3. 자기 자신을 제외한 2의 배수를 모두 지운다. (선홍색으로 표시)
4. 남아있는 수 가운데 2의 다음인 3은 소수이므로 오른쪽에 3을 쓴다. (초록색으로 표시)
5. 자기 자신을 제외한 3의 배수를 모두 지운다. (연초록으로 표시)
6. 위의 과정을 반복하면 구하고자 하는 구간의 모든 소수가 남게 된다.

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Python

방법 1 (함수로 정의)

def prime_list(n):
    # 에라토스테네스의 체 초기화: n개 요소에 True 설정(소수로 간주)
    sieve = [True] * n

    # n의 최대 약수가 sqrt(n) 이하이므로 i=sqrt(n)까지 검사
    m = int(n ** 0.5)
    for i in range(2, m + 1):
        if sieve[i] == True:           # i가 소수인 경우
            for j in range(i+i, n, i): # i이후 i의 배수들을 False 판정
                sieve[j] = False

    # 소수 목록 산출
    return [i for i in range(2, n) if sieve[i] == True]

방법 2 

n = int(input())
a = [True] * (n + 1)
m = int(n**0.5)

for i in range(2, m + 1):
    if a[i] == True:
        for j in range(i + i, n + 1, i):
            a[j] = False

print([i for i in range(2, n + 1) if a[i] == True])

✒ n**0.5 or sqrt(n) 을 하는 이유

sqrt(n) 이하의 숫자만 하면 되는데, 만약 n이 소수이고 n보다 작은 합성수 m = ab라고 하면 a와 b 둘 중 하나는 sqrt(n)보다 무조건 작기 때문이다.

 

자세한 설명 아래 링크

에라토스테네스의 체 혹은 소수판정 시 제곱근 까지만 확인하면 되는 이유

C/C++

void Eratos(int n)
{
    /*  만일 n이 1보다 작거나 같으면 함수 종료 */
    if (n <= 1) return;

    /*	2부터 n까지 n-1개를 저장할 수 있는 배열 할당
		배열 참조 번호와 소수와 일치하도록 배열의 크기는
		n+1 길이만큼 할당(인덱스 번호 0과 1은 사용하지 않음)	*/
	bool* PrimeArray = new bool[n + 1];

	/*  배열초기화: 처음엔 모두 소수로 보고 true값을 줌	*/
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	    PrimeArray[i] = true;

	/*	에라토스테네스의 체에 맞게 소수를 구함
		만일, PrimeArray[i]가 true이면 i 이후의 i 배수는 약수로 i를
		가지고 있는 것이 되므로 i 이후의 i 배수에 대해 false값을 준다.
		PrimeArray[i]가 false이면 i는 이미 소수가 아니므로 i의 배수 역시
		소수가 아니게 된다. 그러므로 검사할 필요도 없다.
또한 i*k (k < i) 까지는 이미 검사되었으므로 j시작 값은 i*2에서 i*i로 개선할 수 있다.
	*/
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
	{
		if (PrimeArray[i])
			for (int j = i * i; j <= n; j += i)
			    PrimeArray[j] = false;
	}

	// 이후의 작업 ...
}

JAVA

import java.util.*;

class Main {
    public static int n = 1000; // 2부터 1,000까지의 모든 수에 대하여 소수 판별
    public static boolean[] arr = new boolean[n + 1];

    public static void main(String[] args) {
        Arrays.fill(arr, true); // 처음엔 모든 수가 소수(True)인 것으로 초기화(0과 1은 제외)
        // 에라토스테네스의 체 알고리즘 수행
        // 2부터 n의 제곱근까지의 모든 수를 확인하며
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
            // i가 소수인 경우(남은 수인 경우)
            if (arr[i] == true) {
                // i를 제외한 i의 모든 배수를 지우기
                int j = 2;
                while (i * j <= n) {
                    arr[i * j] = false;
                    j += 1;
                }
            }
        }
        // 모든 소수 출력
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (arr[i]) System.out.print(i + " ");
        }
    }
}

※ 출처 https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%90%EB%9D%BC%ED%86%A0%EC%8A%A4%ED%85%8C%EB%84%A4%EC%8A%A4%EC%9D%98_%EC%B2%B4